Question

14．如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x²+bx+c經過
A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM周長最短？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A、B兩點的坐標，根據待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得C點坐標，再根據三角形的面積可求得答案；
（3）連接BC交對稱軸于點M，由題意可知A、C關于對稱軸對稱，則可知MA=MC，故當B、M、C三點在同一條直線上時MA+MB最小，則△ABM的周長最小，由B、C坐標可求得直線BC的解析式，則可求得M點的坐標．

解答 解：
（1）在y=3x-3中，令y=0可求得x=1，令x=0可得y=-3，
∴A（1，0），B（0，-3），
把A、B兩點的坐標分別代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²+2x-3；
（2）令y=0得0=x²+2x-3，解得x₁=1，x₂=-3
∴C（-3，0），AC=4
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為x=-1，
∵A、C關于對稱軸對稱，
∴MA=MC，
∴MB+MA=MB+MC，
∴當B、M、C三點在同一條直線上時MB+MC最小，此時△ABM的周長最小，
∴連接BC交對稱軸于點M，則M即為滿足條件的點，

設直線BC的解析式為y=kx+m，
∵直線BC過點B（0，-3），C（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式y=-x-3，
當x=-1時，y=-2，
∴M（-1，-2），
∴存在點M使△ABM周長最短，其坐標為（-1，-2）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角形的面積、軸對稱的性質等知識．在（1）中求得A、B的坐標是解題的關鍵，在（2）中求得C點坐標是解題的關鍵，在（3）中確定出M點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．