Question

2．在平面直角坐標系xOy中，正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…，按如圖的方式放置．點A₁，A₂，A₃，…，A_n和點C₁，C₂，C₃，…，C_n分別落在直線y=x+1和x軸上．拋物線L₁過點A₁，B₁，且頂點在直線y=x+1上，拋物線L₂過點A₂，B₂，且頂點在直線y=x+1上，…，按此規律，拋物線L_n過點A_n，B_n，且頂點也在直線y=x+1上，其中拋物線L₂交正方形A₁B₁C₁O的邊A₁B₁于點D₁，拋物線L₃交正方形A₂B₂C₂C₁的邊A₂B₂于點D₂，…，拋物線L_n+1交正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊A_nB_n于點D_n（其中n≥2且n為正整數）．
（1）直接寫出下列點的坐標：B₁（1，1），B₂（3，2），B₃（7，4）；
（2）寫出拋物線L₂、L₃的解析式，并寫出其中一個解析式求解過程，再猜想拋物線L_n的頂點坐標
（3）設A₁D₁=k₁•D₁B₁，A₂D₂=k₂•D₂B₂，試判斷k₁與k₂的數量關系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A₁的坐標，由正方形的性質則可求得B₁坐標，由題意可求得A₂的橫坐標，則可求得其縱坐標，再利用正方形的性質可求得B₂的坐標，同理可求得B₃的坐標；
（2）由對稱性可求得拋物線的對稱軸，則可求得其頂點坐標，再結合已知點的坐標可求得拋物線解析式，可寫出L₂、L₃的解析式；利用A_n、B_n的變化規律，可求得拋物線L_n的頂點坐標；
（3）由拋物線L₂的解析式可求得A₁D₁的長，則可求得k₁，同理可求得k₂，從而可求得兩者之間的數量關系．

解答 解：
（1）∵A₁在直線y=x+1上，
∴A₁的坐標為（0，1），
∴A₁B₁=OA₁=1，
∴B₁（1，1），
∴A₂橫坐標為1，且在直線y=x+1上，
∴A₂（1，2），
∴A₂B₂=A₂C₁=2，
∴B₂（3，2），同理B₃（7，4），
故答案為：（1，1）；（3，2）；（7，4）；
（2）拋物線L₂、L₃的解析式分別為y=-（x-2）²+3，y=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+6；
拋物線L₂的解析式的求解過程如下：
對于直線y=x+1，設x=0，可得y=1，
∴A₁（0，1），
∵四邊形A₁B₁C₁O是正方形，
∴C₁（1，0），又點A₂在直線y=x+1上，
∴可得點A₂（1，2），
又∵B₂的坐標為（3，2），
∴拋物線L₂的對稱軸為直線x=2，
∴拋物線L₂的頂點為（2，3），
設拋物線L₂的解析式為：y=a（x-2）²+3，
∵L₂過點B₂（3，2），
∴2=a×（3-2）²+3，解得a=-1，
∴拋物線L₂的解析式為y=-（x-2）²+3；
猜想拋物線L_n的頂點坐標為（3×2^n-2-1，3×2^n-2）．
證明如下：
由正方形A_nB_nC_nC_n-1頂點A_n，B_n的坐標規律為A_n（2^n-1-1，2^n-1）與B_n（2ⁿ-1，2^n-1），
∴拋物線L_n的對稱軸為直線x=$\frac{{2}^{n-1}-1+{2}^{n}-1}{2}$=3×2^n-2-1，又頂點在直線y=x+1上，
∴y=3×2^n-2，
∴拋物線L_n的頂點坐標為（3×2^n-2-1，3×2^n-2）；
（3）k₁與k₂的數量關系為k₁=k₂．
理由如下：
由（2）得L₂的解析式為y=-（x-2）²+3，
當y=1時，1=-（x-2）²+3，解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
∵0＜A₁D₁＜1，
∴x=2-$\sqrt{2}$，
∴A₁D₁=2-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
∴D₁B₁=1-（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴A₁D₁=$\sqrt{2}$•D₁B₁，即k₁=$\sqrt{2}$；  
同理可求得A₂D₂=4-2 $\sqrt{2}$=2 $\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
D₂B₂=2-（4-2 $\sqrt{2}$）=2 $\sqrt{2}$-2=2（$\sqrt{2}$-1），
∴A₂D₂=$\sqrt{2}$•D₂B₂，即k₂=$\sqrt{2}$，
∴k₁=k₂．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及正方形的性質、函數圖象上點的坐標特征、待定系數法、函數圖象的交點等知識．在（1）中求得A_n的橫坐標是解題的關鍵，注意正方形性質的應用，在（2）中利用待定系數法可求得拋物線解析式，求拋物線頂點坐標時注意其變化規律，在（3）中利用函數圖象的交點求得相應線段的長分別求得k₁和k₂的值是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．