Question

【題目】已知：如圖數軸上兩點A、B所對應的數分別為-3、1，點P在數軸上從點A出發以每秒鐘2個單位長度的速度向右運動，點Q在數軸上從點B出發以每秒鐘1個單位長度的速度向左運動，設點P的運動時間為t秒．

（1）若點P和點Q同時出發，求點P和點Q相遇時的位置所對應的數；

（2）若點P比點Q遲1秒鐘出發，問點P出發幾秒后，點P和點Q剛好相距1個單位長度；

（3）在（2）的條件下，當點P和點Q剛好相距1個單位長度時，數軸上是否存在一個點C，使其到點A、點P和點Q這三點的距離和最小，若存在，直接寫出點C所對應的數，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P出發秒或秒；(3)見解析.

【解析】

(1)由題意可知運動t秒時P點表示的數為-3+2t，Q點表示的數為1-t，若P、Q相遇，則P、Q兩點表示的數相等，由此可得關于t的方程，解方程即可求得答案；

(2)由點P比點Q遲1秒鐘出發，則點Q運動了(t+1)秒，分相遇前相距1個單位長度與相遇后相距1個單位長度兩種情況分別求解即可得；

(3)設點C表示的數為a，根據兩點間的距離進行求解即可得.

(1)由題意可知運動t秒時P點表示的數為-5+t，Q點表示的數為10-2t；

若P，Q兩點相遇，則有

-3+2t=1-t，

解得：t=，

∴，

∴點P和點Q相遇時的位置所對應的數為；

(2)∵點P比點Q遲1秒鐘出發，∴點Q運動了(t+1)秒，

若點P和點Q在相遇前相距1個單位長度，

則，

解得：；

若點P和點Q在相遇后相距1個單位長度，

則2t+1×(t+1) =4+1，

解得：，

綜合上述，當P出發秒或秒時，P和點Q相距1個單位長度；

(3)①若點P和點Q在相遇前相距1個單位長度，

此時點P表示的數為-3+2×=-，Q點表示的數為1-(1+)=-，

設此時數軸上存在-個點C，點C表示的數為a，由題意得

AC+PC+QC=|a+3|+|a+|+|a+|，

要使|a+3|+|a+|+|a+|最小，

當點C與P重合時，即a=-時，點C到點A、點P和點Q這三點的距離和最小；

②若點P和點Q在相遇后相距1個單位長度，

此時點P表示的數為-3+2×=-，Q點表示的數為1-(1+)=-，

此時滿足條件的點C即為Q點，所表示的數為，

綜上所述，點C所表示的數分別為-和-.