Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+與x軸、y軸分別交于點B、A，與直線y=相交于點C．動點P從O出發在x軸上以每秒5個單位長度的速度向B勻速運動，點Q從C出發在OC上以每秒4個單位長度的速度，向O勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2）．

（1）直接寫出點C坐標及OC、BC長；

（2）連接PQ，若△OPQ與△OBC相似，求t的值；

（3）連接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接寫出點P坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（，），8，10；（2）t的值為或1s時，△OPQ與△OBC相似；（3）t=s時，PC⊥BQ．

【解析】

（1）利用待定系數法，方程組、兩點間距離公式即可解決問題；

（2）分兩種情形①當OPOC＝OQOB時，△OPQ∽△OCB，②當OPOB＝OQOC時，△OPQ∽△OBC，構建方程即可解決問題；

（3）如圖作PH⊥OC于H．首先證明∠OCB＝90°，推出∠PCH＝∠CBQ時，PC⊥BQ．由PH∥BC，可得OPOB＝PHBC＝OHOC，可得5t10＝PH6＝OH8，推出PH＝3t，OH＝4t，根據tan∠PCH＝tan∠CBQ，構建方程即可解決問題.

（1）對于直線y=﹣x+，令x=0，得到y=，

∴A（0，），

令y=0，則x=10，

∴B（10，0），

由，解得，

∴C（，）．

∴OC==8，

BC==10．

（2）①當時，△OPQ∽△OCB，

∴，

∴t=．

②當時，△OPQ∽△OBC，

∴，

∴t=1，

綜上所述，t的值為或1s時，△OPQ與△OBC相似．

（3）如圖作PH⊥OC于H．

∵OC=8，BC=6，OB=10，

∴OC2+BC2=OB2，

∴∠OCB=90°，

∴當∠PCH=∠CBQ時，PC⊥BQ．

∵∠PHO=∠BCO=90°，

∴PH∥BC，

∴，

∴，

∴PH=3t，OH=4t，

∴tan∠PCH=tan∠CBQ，

∴，

∴t=或0（舍棄），

∴t=s時，PC⊥BQ．