Question

【題目】如圖，矩形中，對角線，交于點，以，為鄰邊作平行四邊形，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）先證明四邊形AOBE是平行四邊形，再證明AB⊥OE即可；

（2）根據∠EAO+∠DCO=180°，以及矩形性質可求得∠EAO=120°，求出△AEO面積，利用四邊形ADOE的面積等于△AEO面積的2倍即可求解．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴DO=BO．

∵四邊形ADOE是平行四邊形，

∴AE∥DO，AE=DO，AD∥OE．

∴AE∥BO，AE=BO，

∴四邊形AOBE是平行四邊形．

∵AD⊥AB，AD∥OE，

∴AB⊥OE．

∴四邊形AOBE是菱形；

（2）設AB與EO交點為M．

∵AB∥CD，

∴∠DCO=∠BAO．

∵四邊形AOBE是菱形，

∴∠EAO=2∠BAO．

∵∠EAO+∠DCO=180°，

∴∠EAO=120°，∠EAM=60°．

又AM=AB=，

∴BM=，

∴MO=，

∴EO=

∴△AEO面積為：，

∴四邊形ADOE面積=