Question

【題目】如圖，，點關于軸的對稱點為點，點在軸的負半軸上，的面積是．

（1）求點坐標；

（2）若動點從點出發，沿射線運動，速度為每秒個單位，設的運動時間為秒，的面積為，求與的關系式；

（3）在的條件下，同時點Q從D點出發沿軸正方向以每秒個單位速度勻速運動，若點在過點且平行于軸的直線上，當為以為直角邊的等腰直角三角形時，求滿足條件的值，并直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點坐標為；（2）當時，，當時，；（3）當為以為直角邊的等腰直角三角形時，秒或秒或秒，點R對應的坐標分別為R(6，-17)或R(6,13)或R(6,)．

【解析】

（1）由△ABD的面積即可求出AD的長度，從而求出點D的坐標；

（2）分兩種情形①當0＜t≤8時，②當t＞8時，求出△PAC面積即可．
（3）分三種情形①如圖1中，當∠QPR=90°，PQ=PR時，作RH⊥OP于H，②如圖2中，當∠PQR=90°，QR=PQ時，③如圖3中，當∠PQR=90°，QR=PQ時，利用全等三角形的性質列出方程即可解決．

解:（1）的面積是

，

，

，

，

點坐標為；

（2）∵點關于軸的對稱點為點，

點坐標，

當時，，

當時，．

（3）①如圖1中，當時，作于，

，

，

在和中，

，

四邊形是矩形，

，

；

∴OQ=PH=2×10-9=11，

∴OH=6+11=17，

此時R(6，-17)

如圖2中，當時，

，

在和中，

，

，

，

．

此時AR=OQ=2t-9=13

∴R(6,13)

③如圖3中，當∠PQR=90°時，QR=PQ時，

∵∠RQA+∠OQP=90°，

∠OQP+∠OPQ=90°，

∴∠RQA=∠OPQ，

在△ARQ與△OQP中，

，

∴△ARQ≌△OQP（AAS）

∴OP=AQ，

∴t-4=15-2t，

∴t=，

此時，AR=OQ=2t-9=，

∴R(6,)

綜上所述，當為以為直角邊的等腰直角三角形時，秒或秒或秒，點R對應的坐標分別為R(6，-17)或R(6,13)或R(6,)．