Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，﹣n），拋物線經過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．

（1）求直線AB和OB的解析式．
（2）求拋物線的解析式．
（3）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接OD、BD．問△BOD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值并寫出此時點D的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：解方程x2﹣2x﹣3=0，

得 x1=3，x2=﹣1．

∵m＜n，

∴m=﹣1，n=3

∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．

設直線AB的解析式為y=kx+b

∴ ，

解得： ，

所以直線AB的解析式為y=﹣ x﹣ ；

設直線OB的解析式為y=kx，

∴3k=﹣3，

解得：k=﹣1，

∴直線OB的解析式為y=﹣x

（2）解：∵拋物線過原點，設拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

∴ ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x

（3）解：△BOD的面積是存在最大值；

過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．

設Q（x，﹣x），D（x，﹣ x2+ x）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ= DQOG+ DQGH，

= DQ（OG+GH），

= [x+（﹣ x2+ x）]×3，

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵0＜x＜3，

∴當x= 時，S取得最大值為 ，此時D（ ，﹣ ）

【解析】（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，利用待定系數法確定直線AB和直線OB的解析式即可；（2）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；（3）利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關于x的二次函數，進而得出最值即可．