Question

【題目】如圖，直線y= x+4交于x軸于點A，交y軸于點C，過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數的表達式及頂點Q的坐標；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△BPC的內心在y軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在寫出理由；
（3）直線y=kx﹣6與y軸交于點N，與直線AC的交點為M，當△MNC與△AOC相似時，求點M坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0代入y= x+4，解得：x=﹣3，

∴A（﹣3，0）．

令x=0，代入y= x+4，得y=4，

∴C（0，4）．

設拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+4．

∴y=﹣ （x2+2x+1）+ ，

∴Q（﹣1， ）．

（2）解：∵點B的坐標為（1，0），取點B關于y軸的對稱點B′（﹣1，0），連接CB′，則∠BCO=∠B′CO，

∴△BPC的內心在y軸上．

設直線B′C的解析式為y=kx+b，將點B′和點C的坐標代入得： ，

解得：k=4，b=4．

∴直線B′C的解析式為y=4x+4，

將y=4x+4與y=﹣ x2﹣ x+4聯立得： ，

解得： 或 （舍去）．

∴點P的坐標為（﹣5，﹣16）

（3）解：N（0，﹣6），直線AC的表達式為y= x+4．

當△MNC∽△AOC時，∠CMN=90°．

∴直線MN的一次項系數為﹣ ．

∴MN的解析式為y=﹣ x﹣6．

將y= x+4與y=﹣ x﹣6聯立，解得： ，

∴點M的坐標為（﹣ ，﹣ ）．

②當∠CNM為直角時，MN∥x軸，

將y=﹣6代入y= x+4得： x+4=﹣6，解得：x=﹣ ．

∴M（﹣ ，﹣6）．

綜上所述，點M的坐標為（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣6）

【解析】（1）先求得點A和點C的坐標，然后利用待定系數法求得二次函數的額解析式，接下來，利用配方法求得拋物線的頂點坐標即可；
（2）取點B關于y軸的對稱點B′（-1，0），連接CB′，則∠BCO=∠B′CO，然后求得直線B′C的解析式為，然后將直線B′C的解析式與拋物線的解析式聯立可求得點P的坐標；
（3）當∠CMN=90°時，先求得直線MN的解析式，然后將直線AC與直線MN的解析式聯立可求得點點M的坐標；當∠CNM為直角時，MN∥x軸，再求得直線MN的解析式，然后將直線AC與直線MN的解析式聯立可求得點點M的坐標.