Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A=60°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．
（1）①∠ABN的度數是； ②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠；
（2）求∠CBD的度數；
（3）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規律．
（4）當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，∠ABC的度數是 ．

Answer 1

【答案】
（1）120°；CBN
（2）解：∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A=180°，

∴∠ABN=180°﹣60°=120°，

∴∠ABP+∠PBN=120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，

∴2∠CBP+2∠DBP=120°，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°

（3）解：不變，∠APB：∠ADB=2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB=2：1

（4）30°
【解析】解：（1）①∵AM∥BN，∠A=60°， ∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=120°；②∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
故答案為：120°，∠CBN；（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
當∠ACB=∠ABD時，則有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
∴∠ABC+∠DBN=60°，
∴∠ABC=30°，
故答案為：30°．
（1）由平行線的性質：兩直線平行同旁內角互補和內錯角相等可得；（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=120°，再根據角平分線的定義知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=120°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，當∠ACB=∠ABD時有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根據∠ABN=120°，∠CBD=60°可得答案．