Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3），且此拋物線的頂點坐標為M（﹣1，4）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）設點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點，當△ACD與△ACB面積相等時，求點D的坐標；
（3）點P在線段AM上，當PC與y軸垂直時，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將△PCE沿直線CE翻折，使點P的對應點P′與P、E、C處在同一平面內，請求出點P′坐標，并判斷點P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c經過點C（0，3），頂點為M（﹣1，4），

∴ ，解得： ．

∴所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：依照題意畫出圖形，如圖1所示．

令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，

故A（﹣3，0），B（1，0），

∴OA=OC，△AOC為等腰直角三角形．

設AC交對稱軸x=﹣1于F（﹣1，yF），

由點A（﹣3，0）、C（0，3）可知直線AC的解析式為y=x+3，

∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．

設點D坐標為（﹣1，yD），

則S△ADC= DFAO= ×|yD﹣2|×3．

又∵S△ABC= ABOC= ×[1﹣（﹣3）]×3=6，且S△ADC=S△ABC，

∴ ×|yD﹣2|×3．=6，解得：yD=﹣2或yD=6．

∴點D的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）

（3）

解：如圖2，點P′為點P關于直線CE的對稱點，過點P′作PH⊥y軸于H，設P′E交y軸于點N．

在△EON和△CP′N中， ，

∴△EON≌△CP′N（AAS）．

設NC=m，則NE=m，

∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直線AM的解析式為y=2x+6，

∴當y=3時，x=﹣ ，即點P（﹣ ，3）．

∴P′C=PC= ，P′N=3﹣m，

在Rt△P′NC中，由勾股定理，得： +（3﹣m）2=m2，

解得：m= ．

∵S△P′NC= CNP′H= P′NP′C，

∴P′H= ．

由△CHP′∽△CP′N可得： ，

∴CH= = ，

∴OH=3﹣ = ，

∴P′的坐標為（ ， ）．

將點P′（ ， ）代入拋物線解析式，

得：y=﹣ ﹣2× +3= ≠ ，

∴點P′不在該拋物線上．

【解析】（1）由拋物線經過的C點坐標以及頂點M的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線解析式；（2）設點D坐標為（﹣1，yD），根據三角形的面積公式以及△ACD與△ACB面積相等，即可得出關于yD含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結論；（3）作點P關于直線CE的對稱點P′，過點P′作PH⊥y軸于H，設P′E交y軸于點N．根據對稱的性質即可得出△EON≌△CP′N，從而得出CN=NE，由點A、M的坐標利用待定系數法可求出直線AM的解析式，進而得出點P的坐標，在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性質以及線段間的關系即可找出點P′的坐標，將其代入拋物線解析式中看等式是否成立，由此即可得出結論．