Question

【題目】“低碳環保”已經成為一種生活理念，同時也帶來無限商機．某高科技發展公司投資2000萬元成功研制出一種市場需求量較大的低碳高科技產品．已知生產每件產品的成本是40元，在銷售過程中發現：當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為z（萬元）．（年獲利=年銷售額﹣生產成本﹣投資）
（1）試寫出z與x之間的函數關系式；
（2）請通過計算說明，到第一年年底，當z取最大值時，銷售單價x定為多少？此時公司是盈利了還是虧損了？
（3）若該公司計劃到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數的大致圖象說明，第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍內？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知，當銷售單價定為x元時，年銷售量減少 （x﹣100）萬件，

∴y=20﹣ （x﹣100）=﹣ x+30，

即y與x之間的函數關系式是y=﹣ x+30．

由題意得：

z=y（x﹣40）﹣2000

=（30﹣ x）（x﹣40）﹣2000

=﹣ x2+34x﹣3200，

即z與x之間的函數關系是z=﹣ x2+34x﹣3200

（2）解：∵z=﹣ x2+34x﹣3200，

=﹣ （x﹣170）2﹣310．

∴當x=170時，z取最大值，為﹣310，

即當銷售單價為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資．

（3）解：第二年的銷售單價定為x元時，年獲利為：

z=（30﹣ x）（x﹣40）﹣310=﹣ x2+34x﹣1510．

當z=1130時，即1130=﹣ x2+34x﹣1510，

整理得x2﹣340x+26400=0，

解得：x1=120，x2=220．

函數z=﹣ x2+34x﹣1510的圖象大致如圖所示，

由圖象可以看出：當120≤x≤220時，z≥1130．

故第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內．

【解析】（1）當銷售單價定為x元時，依據題意可知年銷售量減少（x-100），從而可得到y與x之間的函數關系式，進而由題意易得z與x之間的函數關系；
（2）利用配方法對z與x的函數關系進行變形，從而可得出當x=170時，z取最大值；即可得出公司是盈利了還是虧損；
（3）首先令獲得的利潤為1130萬元列出方程，然后從而可求得此時x的值，然后依據函數的圖形可確定出利潤不低于1130萬元時，自變量x的取值范圍.