Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點M，將 沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，連接PC．
（1）求CD的長；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）點G為 的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E．交 于點F（F與B、C不重合）．問GEGF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，

連接OC，

∵ 沿CD翻折后，點A與圓心O重合，

∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA，

∵OC=2，

∴CD=2CM=2 =2 =2 ．

（2）

證明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°，

∴PC= = =2 ，

∵OC=2，PO=2+2=4，

∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2，

∴∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切線．

（3）

解：GEGF是定值，證明如下：如圖 ，

連接GA、AF、GB，

∵點G為 的中點，∴ = ，

∴∠BAG=∠AFG，

又∵∠AGE=∠FGA，

∴△AGE∽△FGA，

∴ = ，

∴GEGF=AG2，

∵AB為直徑，AB=4，

∴∠BAG=∠ABG=45°，

∴AG=2 ，

∴GEGF=8．

【解析】（1）連接OC，根據翻折的性質求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
　　　　（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據圓的切線的定義證明即可；
　　　　（3）連接GA、AF、GB，根據等弧所對的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據兩組角對應相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據相似三角形對應邊成比例可得 = ，從而得到GEGF=AG2 ， 再根據等腰直角三角形的性質求解即可． 本題是圓的綜合題型，主要利用了翻折變換的性質，垂徑定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圓的切線的定義，相似三角形的判定與性質，難點在于（3）作輔助線構造出相似三角形．