Question

23、某商品的進價為每件40元，售價每件不低于50元且不高于80元．售價為每件60元時，每個月可賣出100件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件．如果每件商品的售價每降價1元，則每個月多賣1件．設每件商品的售價為x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？
（3）當每件商品的售價高于60元時，定價為多少元使得每個月的利潤恰為2250元？

Answer 1

分析：（1）由于售價為60時，每個月賣100件，售價上漲或下調影響銷量，因此分為50≤x≤60和60＜x≤80兩部分求解；
（2）由（1）中求得的函數解析式來根據自變量x的范圍求利潤的最大值；
（3）在60＜x≤80，令y=2250，求得定價x的值．

解答：解：（1）當50≤x≤60時，y=（x-40）（100+60-x）=-x²+200x-6400；
當60＜x≤80時，y=（x-40）（100-2x+120）=-2x²+300x-8800；
∴y=-x²+200x-6400（50≤x≤60且x為整數）
y=-2x²+300x-8800（60＜x≤80且x為整數）
（2）當50≤x≤60時，y=-（x-100）²+3600；
∵a=-1＜0，且x的取值在對稱軸的左側，
∴y隨x的增大而增大，
∴當x=60時，y有最大值2000；
當60＜x≤80時，y=-2（x-75）²+2450；
∵a=-2＜0，
∴當x=75時，y有最大值2450．
綜上所述，每件商品的售價定為75元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2450元．
（3）當60＜x≤80時，y=-2（x-75）²+2450．
當y=2250元時，-2（x-75）²+2450=2250，
解得：x₁=65，x₂=85；
其中，x₂=85不符合題意，舍去．
∴當每件商品的售價為65元時，每個月的利潤恰為2250元．

點評：本題考查的是函數方程和實際結合的問題，同學們需掌握最值的求法．