Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列6個結論正確的有________個.

①ac<0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④對于任意x均有ax2+bx≥a+b；⑤3a+c=0；⑥b+2c<0；⑦當x>1時，y隨著x的增大而減小

Answer 1

【答案】5

【解析】①∵圖象過點（-1，0），（3，0），∴對稱軸為x=1，

∵拋物線的開口向上，∴a＞0，

∵與y軸的交點為在y軸的負半軸上，∴c＜0，

∵對稱軸為x=>0 ,

∴a、b異號，即b＜0，

∴ac＜0，故①是正確的;

②2a+b=0，

∵對稱軸為x=1，

∴x= ,

∴-b=2a，

∴2a+b=0，故②是正確的;

③當x=2時，y=4a+2b+c＜0，此③是錯誤的；

④對于任意x均有ax2+ax＞a+b，

當x=-1，則a-a=0，

∵2a+b=0，

∴a+b＜0，

∴ax2+ax＞a+b，

當x=0，則a+b＜0，

∴ax2+ax＞a+b，

當x=1，則a+a=2a，

∵2a+b=0，

∴a+b＜0，

2a＞a+b，

∴ax2+ax＞a+b,故④是正確的;

⑤拋物線對稱軸x== , 則b=-2a,

如圖，當x=-1時，y=0，即a-b+c=3a+c=0，故⑤正確的；

⑥∵函數的圖象與y軸負半軸相交一點,

∴c<0,

又∵由①可知:b<0,

∴b+2c<0,故⑥正確；

⑦如圖所示:當x>1時，y隨著x的增大而增大,故⑦是錯誤的;

綜合上述可得:①②④⑤⑥共5個正確的;

故答案是5.

點睛: 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小:當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置:當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左邊； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右邊；常數項c決定拋物線與y軸交點:拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定:當△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；當△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；當△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點.