Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑, BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點（不經過A，B兩點）,過O作OQ∥AP交于點Q，過點P作于C，交的延長線于點E，連結.

（1）求證：PQ與⊙O相切；

（2）若直徑AB的長為12，PC=2EC，求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接OP，根據平行線的性質得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根據等腰三角形的性質得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根據全等三角形的性質得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）由OQ∥AP，可得△COE∽△CAP,從而列比例式求出PC的長； 由OQ∥AP，∠E=∠APC，所以tan∠E=，從而求得結果.

解：(1)連接OP，

∵OQ∥AP，∴∠A=∠BOQ，∠APO=∠POQ，

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO．

∴∠BOQ=∠POQ,

在△OQB與△OQP中，

∠BOQ=∠POQ，OP=OB，OQ=OQ，

∴△OQB≌△OQP,

∴∠OBQ=∠OPQ，PQ=BQ．

∵BM切⊙O于點B,∴∠OBQ=∠OPQ=90°．

∴PQ與⊙O相切；

(2) ∵OQ∥AP，∴△COE∽△CAP,∴,

由AB的長為12，

∴OA=6.

∵PC=2EC， ∴OC=2，AC=4,

∴.

由OQ∥AP，∠E=∠APC，

∴tan∠E=.