Question

【題目】問題提出

（1）如圖1，已知三角形，請在邊上確定一點，使得的值最小．

問題探究

（2）如圖2，在等腰中，，點是邊上一動點，分別過點，點作線段所在直線的垂線，垂足為點，若，求線段的取值范圍，并求的最大值．

問題解決

（3）如圖3，正方形是一塊蔬菜種植基地，邊長為3千米，四個頂點處都建有一個蔬菜采購點，根據運輸需要，經過頂點處和邊的兩個三等分點之間的某點建設一條向外運輸的快速通道，其余三個采購點都修建垂直于快速通道的蔬菜輸送軌道，分別為、、．若你是此次項目設計的負責人，要使三條運輸軌道的距離之和最小，你能不能按照要求進行規劃，請通過計算說明．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）的取值范圍是，當取最小值時，取得最大值，最大值是5；（3）可以按照要求進行規劃（點P選在點E處），三條輸送軌道之和最小為千米．

【解析】

（1）根據垂線段最短即可得；

（2）如圖2（見解析），先根據等腰三角形的性質、勾股定理求出，再根據等面積法可求出，由此即可得線段的取值范圍；然后根據可得當取最小值時，取得最大值，將BP的最小值代入求解即可得；

（3）如圖3（見解析），連接，先參照（2）的方法求出AP的取值范圍，再根據得出，由此即可得出答案．

（1）如圖1，過點作，垂足為點

由垂線段最短可知，此時的值最小；

（2）如圖2，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點

是等腰三角形

由等面積法得：，即

解得

點在邊上，

，即

則的取值范圍是

當取最小值時，取得最大值

將代入得：

解得

則的最大值是5；

（3）如圖3，連接

正方形邊長為3，為邊的三等分點

參考（2）可知，

即

，即

又

即

當取最大值時，取得最小值

將代入得：

解得

則的最小值為

綜上，可以按照要求進行規劃（點P選在點E處），三條輸送軌道之和最小為千米．