Question

【題目】如圖，直角坐標系中，⊙M經過原點O（0，0），點A（，0）與點B（0，﹣1），點D在劣弧OA上，連接BD交x軸于點C，且∠COD＝∠CBO．

（1）請直接寫出⊙M的直徑，并求證BD平分∠ABO；

（2）在線段BD的延長線上尋找一點E，使得直線AE恰好與⊙M相切，求此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（，1）．

【解析】

（1）根據勾股定理可得AB的長，即⊙M的直徑，根據同弧所對的圓周角可得BD平分∠ABO；

（2）作輔助構建切線AE，根據特殊的三角函數值可得∠OAB=30°，分別計算EF和AF的長，可得點E的坐標．

（1）∵點A（，0）與點B（0，﹣1），

∴OA=，OB=1，

∴AB==2，

∵AB是⊙M的直徑，

∴⊙M的直徑為2，

∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，

∴∠CBO=∠CBA，

即BD平分∠ABO；

（2）如圖，過點A作AE⊥AB于E，交BD的延長線于點E，過E作EF⊥OA于F，即AE是切線，

∵在Rt△ACB中，tan∠OAB=，

∴∠OAB=30°，

∵∠ABO=90°，

∴∠OBA=60°，

∴∠ABC=∠OBC==30°，

∴OC=OBtan30°=1×，

∴AC=OA﹣OC=，

∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，

∴∠EAC=60°，

∴△ACE是等邊三角形，

∴AE=AC=，

∴AF=AE=，EF==1，

∴OF=OA﹣AF=，

∴點E的坐標為（，1）．