Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．

(1)求點C的坐標；

(2)若拋物線y＝ax²＋bx(a≠0)經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；

(3)若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

注：拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標為，對稱軸公式為

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過點C作CH⊥x軸，垂足為H 　　∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 　　∴OB＝4，OA＝ 　　由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝ 　　∴∠COH＝60°，OH＝，CH＝3 　　∴C點坐標為(，3) 　　(2)∵拋物線(≠0)經過C(，3)、A(，0)兩點 　　∴解得： 　　∴此拋物線的解析式為： 　　(3)存在．因為的頂點坐標為(，3)即為點C 　　MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝30°，所以ON＝ 　　∴P(，) 　　作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E 　　把代入得： 　　∴M(，)，E(，) 　　同理：Q(，)，D(，1) 　　要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD 　　即，解得：，(舍) 　　∴P點坐標為(，) 　　∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為(，)