Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，對稱軸公式為x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形BOA中，根據AB的長和∠AOB的度數，求出OA的長．根據折疊的性質可知：OC=OA，∠COA=60°，過C作x軸的垂線，即可用三角形函數求出C點的坐標；
（2）根據（1）求出的A，C點的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（3）根據等腰梯形的性質，如果過M，P兩點分別作底的垂線ME和PQ，那么CE=PQ，可先設出此時P點的坐標，然后表示出M點的坐標，CE就是C點縱坐標與M點縱坐標的差，QD就是P點縱坐標和D點縱坐標的差．由此可得出關于P點橫坐標的方程，可求出P點的橫坐標，進而可求出P點的坐標．

解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=2

3

由折疊知，∠COB=30°，OC=OA=2

3

∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3
∴C點坐標為（

3

，3）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C（

3

，3）、A（2

3

，0）兩點，
∴

3=( 3 )2a+ 3 b 0=(2 3 )2a+2 3 b

，
解得：

a=-1 b=2 3

，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+2

3

x．
解法一：（3）存在．
因為y=-x2+2

3

x的頂點坐標為（

3

，3）
所以頂點坐標為點C（8分）
作MP⊥x軸，垂足為N，
設PN=t，因為∠BOA=30°，
所以ON=

3

t
∴P（

3

t，t）（9分）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把x=

3

t代入y=-x2+2

3

x
得：y=-3t²+6t
∴M（

3

t，-3t²+6t），E（

3

，-3t²+6t）（10分）
同理：Q（

3

，t），D（

3

，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD（這時△PQD≌△MEC）
即3-（-3t²+6t）=t-1，解得：t1=

4

3

，t₂=1（不合題意，舍去）（11分）
∴P點坐標為（

4

3

3

，

4

3

）（12分）
∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（

4

3

3

，

4

3

）；
解法二：

（3）存在．
由（2）可得：y=-x2+2

3

x=-(x-

3

)2+3得頂點坐標為（

3

，3），
即點C恰好為頂點；（8分）
設MP交x軸于點N，
∵MP∥y軸，CH為拋物線的對稱軸
∴MP∥CD且CM與DP不平行
∴四邊形CDPM為梯形
若要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°，則∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°，
∴∠MCD=∠BCD，
∴此時點M為拋物線與線段CB所在直線的交點（9分）
設BC的解析式為y=mx+n
由（2）得C（

3

，3）、B（2

3

，2）
∴

3= 3 m+n 2=2 3 m+n

解得：

m=- 3 3 n=4

∴直線BC的解析式為y=-

3

3

x+4（10分）
由

y=-x2+2 3 x y=- 3 3 x+4

得x1=

4 3

3

，x2=

3

∴ON=

4

3

3

（11分）
在Rt△OPN中，tan∠PON=

PN

ON

得PN=

4

3

∴P點坐標為（

4

3

3

，

4

3

）（12分）
∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐標為（

4

3

3

，

4

3

）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形翻折變換、三角形全等、等腰梯形的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．