Question

（2013•武漢模擬）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 為原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．
（1）求點C的坐標和過O、C、A三點的拋物線的解析式；
（2）P是此拋物線的對稱軸上一動點，當以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標；
（3）M（x，y）是此拋物線上一個動點，當△MOB的面積等于△OAB面積時，求M的坐標．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度數和AB的長，可求出OA的值，即可得到點A的坐標；由于△OBC由△OAB折疊所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，過C作x軸的垂線，在構建的直角三角形中，通過解直角三角形可得到點C的坐標；最后利用待定系數法可求出拋物線的解析式．
（2）以P、O、C為頂點的等腰三角形并沒有確定腰和底，所以要分情況討論：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
首先設出點P的坐標，在用表達式表示出△OPC三邊長后，按上面所列情況列方程求解即可．
（3）在直線OB兩邊，到OB的距離等于

3

的直線有兩條，直線和拋物線的交點就是M點，求出即可．

解答：解：（1）由已知條件，可知OC=OA=

OB

tan30°

=2

3

，∠COA=60°，
C點的坐標為（

3

，3），
設過O、A、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則

c=0 12a+2 3 b+c=0 3a+ 3 b+c=3

，解得

a=-1 b=2 3 c=0

，
所求拋物線的解析式為y=-x²+2

3

x．

（2）由題意，設P（

3

，y），則：
OP²=y²+3、CP²=（y-3）²=y²-6y+9、OC²=12；
①當OP=CP時，6y=6，即 y=1；
②當OP=OC時，y²=9，即 y=±3（y=3舍去）；
③當CP=OC時，y²-6y-3=0，即 y=3±2

3

；
∴P點的坐標是（

3

，1）或（

3

，-3）或（

3

，3-2

3

）或（

3

，3+2

3

）；

（3）
過A作AR⊥OB于R，過O作ON⊥MN于N，MN與y軸交于點D．
∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OA=2

3

，OB=4，
由三角形面積公式得：4×AR=2

3

×2，
AR=

3

，
∵△MOB的面積等于△OAB面積，
∴在直線OB兩邊，到OB的距離等于

3

的直線有兩條，直線和拋物線的交點就是M點，
∠NOD=∠BOA=30°，ON=

3

，
則OD=2，
求出直線OB的解析式是y=

3

3

x，
則這兩條直線的解析式是y=

3

3

x+2，y=

3

3

x-2，
解

y= 3 3 x+2 y=-x2+2 3 x

，

y= 3 3 x-2 y=-x2+2 3 x

，
解得：

x1= 3 y1=3

，

x2= 2 3 3 y2= 8 3

，

x3=2 3 y3=0

，

x4=- 3 3 y4=- 5 3

此時，M₁（

3

，3）、M₂（

2 3

3

，

8

3

）．M₃（2

3

，0）．M₄（-

3

3

，-

5

3

）．

點評：該題主要考查：利用待定系數法確定函數解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質以及三角形面積的解法等基礎知識；類似（2）題的等腰三角形判定題，通常都要根據不同的腰和底進行分類討論，以免漏解．