Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，DA、CB的延長線交于點P，連接AC、BD，BD=BC．

（1）證明：AB平分∠PAC；

（2）若AC是直徑，AC=5，BC=4，求DC長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，圓內接四邊形的性質，圓周角定理證明；

（2）根據勾股定理求出AB，證明△APB∽△CPD，個相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

（1）證明：∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠BCD=∠PAB，

∴∠PAB=∠BDC，

由圓周角定理得，∠BAC=∠BDC，

∴∠BAC=∠PAB，即AB平分∠PAC；

（2）∵AC是⊙O直徑，

∴∠ABC=90°，

∴AB==3，

∵AB⊥PC，AB平分∠PAC，

∴AP=AC=5，PB=BC=4，

∵∠PAB=∠PCD，∠APB=∠CPD，

∴△APB∽△CPD，

∴=，即= ，

解得，CD=．