Question

【題目】已知一次函數y=﹣x+1與拋物線y=x2+bx+c交于A（0，1），B兩點，B點縱坐標為10，拋物線的頂點為C．

（1）求b，c的值；

（2）判斷△ABC的形狀并說明理由；

（3）點D、E分別為線段AB、BC上任意一點，連接CD，取CD的中點F，連接AF，EF．當四邊形ADEF為平行四邊形時，求平行四邊形ADEF的周長．

Answer 1

【答案】（1）b=2；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3）平行四邊形ADEF周長為6+6．

【解析】

（1）把A坐標代入拋物線解析式可求出c的值，把B的縱坐標代入直線解析式可求出其橫坐標，再代入拋物線解析式即可求出b的值；

（2）△ABC的形狀是直角三角形，分別作BG垂直于y軸，CH垂直于y軸，依次求∠BAG=45°，∠CAH=45°，進而得到∠CAB=90°；

（3）首先利用勾股定理易求AB的長，進而得到AC的長，利用三角形中位線的性質即可求出EF的長，再利用勾股定理即可求出AF的長，繼而求出平行四邊形ADEF的周長．

（1）把A（0，1），代入y=x2+bx+c，

解得c=1，

將y=10代入y=﹣x+1，得x=﹣9，

∴B點坐標為（﹣9，10），

將B （﹣9，10），代入y=x2+bx+c

得b=2；

（2）△ABC是直角三角形，

理由如下：

∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，

∴點C的坐標為（﹣3，﹣2），

分別作BG垂直于y軸，CH垂直于y軸

∵BG=AG=9，

∴∠BAG=45°，

同理∠CAH=45°，

∴∠CAB=90°

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵BG=AG=9，

∴AB=9，

∵CH=AH=3，

∴AC=3，

∵四邊形ADEF為平行四邊形，

∴AD∥EF，

又∵F為CD中點，

∴CE=BE，

即EF為△DBC的中位線，EF

∴EF=AD=BD，

∵AB=9，

∴EF=AD=3

在Rt△ACD中，AD=3，AC=3，

∴CD=6，

∴AF=3，

∴平行四邊形ADEF周長為6+6．