Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A（-1,0），B（3,0），與y軸交于點C。

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第一象限拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交BC于點H.當點P運動到何處時滿足PC=CH？求出此時點P的坐標；

（3）若m≤x≤m+1時，二次函數y=ax2+bx+3的最大值為m，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為（1，4）；（3）m的值為或．

【解析】

（1）將點A、B坐標代入拋物線解析式求出a，b值即可；

（2）求出直線BC的解析式，因點P在拋物線上，點H在直線上，故可設點P坐標為（x, ），則點H坐標為（x,-x+3），可得CM、PH的長，過點C作CM⊥PH于M，由等腰三角形的性質可得CM與PH間的數量關系，列出等式，求解即可；

（3）分類討論，若m+1≤1時函數在x=m+1處有最大值為m，若m＜1＜m+1，函數在x=1處有最大值，若m＞1，函數在x=m處有最大值，再分別求解即可.

解：（1）由題意得

解得

∴拋物線的解析式為

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b

由題意得∴直線BC的解析式為y= -x+3.

設點P坐標為（x, ），則點H坐標為（x,-x+3）.

由此可得，CM=x，PH=

過點C作CM⊥PH于M

∵CP=CH ∴PM=MH， ∠MCH=∠MCP

∵OB=OC ∴∠OBC=45°

∵CM∥OB ∴∠MCH=∠OBC=45°∴∠PCH=90°

∴MC=即

解得x1=0(舍) x2=1

∴當x=1時，y=4即點P的坐標為（1，4）

(3)若m+1≤1，即m≤0時，

當x=m+1時，函數有最大值為-（m+1）2+2（m+1）+3＝m，

解得（舍） ；

若m＜1＜m+1，即0＜m＜1，

當x=1時，函數有最大值為m=4（舍）；

若m＞1，

當x=m時，函數有最大值為-m2+2m+3＝m，

解得 （舍）；

綜上所述，m的值為或．