Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于點、點，與軸交于點，點是拋物線上一動點， 聯結交線段于點．

（1）求這條拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；

（2）求的正切值；

（3）當與相似時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）2；（3）點的坐標為或

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數解析式，根據函數解析式求得該拋物線的頂點坐標；

（2）如圖，過點B作BH⊥AC于點H，構造等腰直角△ABH和直角△BCH，利用勾股定理和兩點間的距離公式求得相關線段的長度，從而利用銳角三角函數的定義求得答案；

（3）如圖2，過點D作DK⊥x軸于點K，構造直角△DOK，設D（x，x22x＋3），則K（x，0）．并由題意知點D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以當△AOE與△ABC相似時，有2種情況：

①∠AOD＝∠ABC．則tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由銳角三角函數定義列出比例式，從而求得點D的坐標．

②∠AOD＝∠ACB．則tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由銳角三角函數定義列出比例式，從而求得點D的坐標．

（1）解：設拋物線的解析式為

拋物線過點

解得

這條拋物線的解析式為

頂點坐標為

（2）解：過點作，垂足為

在中，

（3）解：過點作軸，垂足為

設，則，并由題意可得點在第二象限

是公共角

當與相似時

存在以下兩種可能

①

解得，（舍去）

②

解得，（舍去）

綜上所述：當與相似時，

點的坐標為或