Question

【題目】如圖，直線y=kx+3與x軸，y軸分別交于A，B兩點，tan∠OAB= ，點C（x，y）是直線y=kx+3上與A，B不重合的動點．

（1）求直線y=kx+3的解析式；
（2）當點C運動到什么位置時△AOC的面積是6；
（3）過點C的另一直線CD與y軸相交于D點，是否存在點C使△BCD與△AOB相似，且△BCD的面積是△AOB的面積的 ？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=kx+3與y軸分別交于B點，

∴B（0，3），

∵tan∠OAB= ，

∴OA=4，

∴A（4，0），

∵直線y=kx+3過A（4，0），

∴4k+3=0，

∴k=﹣ ，

∴直線的解析式為：y=﹣ x+3

（2）

解：∵A（4，0），

∴AO=4，

∵△AOC的面積是6，

∴△AOC的高為：3，

∴C點的縱坐標為3，

∵直線的解析式為：y=﹣ x+3，

∴3=﹣ x+3，

x=0，

∴點C運動到B點時，△AOC的面積是6（C是與A、B不重合的動點，所以不符合題意）；

如圖1，當C點移動到x軸下方時，作CE⊥x軸于點E，

∵△AOC的面積是6，

∴ EC×AO=6，

解得：EC=3，

∴C點縱坐標為：﹣3，

∴C點橫坐標為：﹣3=﹣ x+3，

∴x=8，

∴點C點坐標為（8，﹣3）時，△AOC的面積是6

（3）

解：①如圖2，當CD⊥y軸于點D時，△BCD∽△BAO，

∵△BCD的面積是△AOB的面積的 ，

∴相似比= ，∴BD= BO=1.5，CD= OA=2，

∴C（﹣2，4.5）；

②當CD⊥y軸于點D時，△BCD∽△BAO，

∵△BCD的面積是△AOB的面積的 ，

∴相似比= ，∴BD= BO=1.5，CD= OA=2，

∴C點坐標為：（2，1.5）；

③當CD⊥AB時，△BDC∽△BAO，

∵△BCD的面積是△AOB的面積的 ，

∴相似比= ，

∴BC=1.5，AC=6.5，

過C作CF⊥OA，

則OB∥CF，

∴CF=3.9，FA=5.2，

∴OF=1.2，

∴C（﹣1.2，3.9）；

④當DC⊥AB于點C，△BCD∽△BAO，作CM⊥x軸，

當CB=1.5，BD=2.5，

∴BO∥C′M，

則有OM=1.2，C′M=2.1，

∴C（1.2，2.1）．

【解析】（1）根據直線y=kx+3與y軸分別交于B點，以及tan∠OAB= ，即可得出A點坐標，從而得出一次函數的解析式；（2）根據△AOC的面積是6，得出三角形的高，即可求出C點的坐標；（3）利用△BCD與△AOB相似，利用C點不同位置，得出3種不同圖形，進而利用相似，得出C點橫、縱坐標，進而得出C點坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小，以及對一次函數的圖象和性質的理解，了解一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．