Question

【題目】已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P．
①當直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點為（0，4），

∴可設拋物線解析式為y=ax2+4，

又∵拋物線過點（2，0），

∴0=4a+4，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4；

（2）

解：①如圖，連接CE，CD．

∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD．

在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，

∴∠EDC=30°，

∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，

∴OC= ，

∴當直線OD與以AB為直徑的圓相切時，k=OC= ；

②存在k=2 ，能夠使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上．理由如下：

設拋物線y=﹣x2+4向右平移k個單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它與y=﹣x2+4交于點P，

由﹣（x﹣k）2+4=﹣x2+4，解得x1= ，x2=0（不合題意舍去），

當x= 時，y=﹣ k2+4，

∴點P的坐標是（ ，﹣ k2+4）．

設直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，

得mk=4，解得m= ，

∴直線OD的解析式為y= x，

若點P（ ，﹣ k2+4）在直線y= x上，得﹣ k2+4= ，

解得k=±2 （負值舍去），

∴當k=2 時，O、P、D三點在同一條直線上．

【解析】（1）由拋物線的頂點為（0，4），可設拋物線解析式為y=ax2+4，再將點（2，0）代入，求出a=﹣1，即可得到拋物線解析式為y=﹣x2+4；（2）①連接CE，CD，先根據切線的性質得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后解Rt△CDO，得出OC= ，則k=OC= ；②設拋物線y=﹣x2+4向右平移k個單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它與y=﹣x2+4交于點P，先求出交點P的坐標是（ ，﹣ k2+4），再利用待定系數法求出直線OD的解析式為y= x，然后將點P的坐標代入y= x，即可求出k的值．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．