Question

在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c．如圖所示，過C作CD⊥AB，垂足為點D，則cosA=

AD

b

，即AD=bcosA，所以BD=c-AD=c-bcosA．
在Rt△ADC和Rt△BDC中有CD²=AC²-AD²=BC²-BD²，b²-b²cos²A=a²-（c-bcosA）²，
整理得a²=b²+c²-2bccosA．           ①
同理可得b²=a²+c²-2accosB．         ②
C²=a²+b²-2abcosC．                 ③
這個結論就是著名的余弦定理．在以上三個等式中有六個元素a，b，c，∠A，∠B，∠C，若已知其中的任意三個元素，可求出其余的另外三個元素．
（1）在銳角△ABC中，已知∠A=60°，b=5，c=7，試利用①，②，③求出a，∠B，∠C，的數值；
（2）已知在銳角△ABC中，三邊a，b，c分別是7，8，9，求出∠A，∠B，∠C的度數．（保留整數）

Answer 1

分析：將題中的已知條件代入余弦定理求解即可．

解答：解：（1）∵a²=b²+c²-2bccosA=25+49-2•5•7•cos60°=39，
∴a=

39

．
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

39+49-25

2×7× 39

．
∠B≈36°．
∴∠C=180°-60°-36°=84°．

（2）由余弦定理得7²=8²+9²-2×8×9cosA得cosA=

96

144

，
∴∠A≈48°．
∵8²=9²+7²-2×9×7cosB得cosB=

66

126

，
∴∠B≈58°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=74°．

點評：主要考查對余弦定理的運用能力．