Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如圖），E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點．
（1）設BE=x，△ABM的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）如果以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，求線段BE的長；
（3）連接BD，交線段AM于點N，如果以A，N，D為頂點的三角形與△BME相似，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABM中，已知了AB的長，要求面積就必須求出M到AB的距離，如果連接AB的中點和M，那么這條線就是直角梯形的中位線也是三角形ABM的高，那么AB邊上的高就是（AD+BE）的一半，然后根據三角形的面積公式即可得出y，x的函數關系式；
（2）根據以AB，DE為直徑的圓外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根據BE，AD的差和AB的長，用勾股定理來表示出DE，然后根據上面分析的等量關系得出關于x的方程，即可求出x的值，即BE的長；
（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進行討論：
①當∠ADN=∠BME時，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關于DE，BE，EM的比例關系式，即可求出x的值．
②當∠AND=∠BEM時，∠ADB=∠BEM，可根據這兩個角的正切值求出x的值．
解答：解：（1）取AB的中點H，連接MH，
∵M是線段DE的中點
∴MH=（BE+AD），MH∥AD，
∵∠DAB=90°，
∴AD⊥AB，
∴MH⊥AB，
∴S_△ABM=AB•MH得y=x+2；（x＞0）



（2）過點D作DF⊥BC交于F，由圖形可得DE=，
又∵MH=AD+BE=（AD+BE），
即（x+4）=[2+]．
解得x=．
即線段BE的長為．

（3）因為如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應分兩種情況進行討論．
①當∠ADN=∠BEM時，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足為F，
tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②當∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∵，即BE²=DE•EM，
∴BE²=DE²，
∴x²=[2²+（x-4）2]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
綜上所述線段BE為8或2．
點評：本題主要考查了直角梯形的性質，中位線定理以及相似三角形的性質等知識點，（3）中要根據不同的對應角相等來分情況討論，不要漏解．