Question

如圖，把一個圓形硬紙片等分成三個扇形，用其中一個扇形制作成一個圓錐形紙筒的側面（銜接處無縫隙且不重疊），若每一個扇形的面積都是48πcm²，求：
（1）扇形的弧長；
（2）若另補上圓錐的底部，求圓錐的全面積；
（3）圓錐軸截面底角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由每一個扇形的面積都是48πcm²，利用扇形面積公式，即可求得此扇形半徑，然后由弧長公式，求得扇形的弧長；
（2）由圓錐的知識，可求得底面圓的半徑，繼而求得圓錐的全面積；
（3）首先利用勾股定理，求得截面的高，然后由正切函數的定義，即可求得圓錐軸截面底角的正切值．

解答：解：（1）如圖：扇形的圓心角為：

1

3

×360°=120°，
根據題意得：S_扇形=

120×πR2

360

=48π（cm²），
∴R=12cm，
∴l_扇形=

120πR

180

=

120π×12

180

=8π（cm）；
∴扇形的弧長為：8πcm；

（2）∵8π=2πr，
∴r=4cm，
∴S_全=S_側+S_底=48π+π×4²=64π（cm²）；
∴圓錐的全面積為64πcm²；

（3）∵h=

R2-r2

=

122-42

=8

2

，
∴tanα=

8 2

4

=2

2

．
∴圓錐軸截面底角的正切值為：2

2

．

點評：此題考查了扇形的面積、弧長公式以及圓錐的有關計算．此題難度適中，注意熟記公式與性質是解此題的關鍵．