Question

【題目】如圖，，點、分別在、上，連接，、的平分線交于點，、的平分線交于點．

求證：四邊形是矩形．

小明在完成的證明后繼續進行了探索，過點作，分別交、于點、，過點作，分別交、于點、，得到四邊形．此時，他猜想四邊形是菱形．請在下列框圖中補全他的證明思路．

小明的證明思路：由，，易證，四邊形是平行四邊形．要證□是菱形，只要證．由已知條件________，，可證，故只要證，即證，易證________，________，故只要證，易證，，________，故得，即可得證．

Answer 1

【答案】平分

【解析】

(1)由AB∥CD可得∠AEF=∠DFE，∠BEF=∠CFE，又由EG、FG、EH、FH均為角平分線可得DG∥FH，EH∥GF，且∠EGF=∠EHF=90°，故可得四邊形EGFH為矩形；

(2)利用MN∥EF及FG是角平分線可證△NGF為等腰三角形，得NG=NF；再通過證明△MGE≌△QHF得MG=QF，從而得到NM=NQ進而證明四邊形是菱形．

（1）證明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH=∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠EFG=∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=∠BEF，
∵點A、E、B在同一條直線上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，
即∠GEH=90°
∴四邊形EGFH是矩形；
（2） 答案不唯一：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，
要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FQH．
故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證；
故答案為：FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH．