Question

（2011•廣元）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分別為AB、BC的中點．
（1）求證：四邊形AFCD是矩形；
（2）求證：DE⊥EF．

Answer 1

證明：（1）∵F為BC的中點，
∴BF=CF=BC，
∵BC=2AD，
即AD=BC，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∵BC⊥CD，
∴∠C=90°，
∴?AFCD是矩形；

（2）∵四邊形AFCD是矩形，
∴∠AFB=∠FAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，
∵E是AB的中點，
∴BE=AE=EF=AB，
∴△BEF是等邊三角形，
∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，
∵AD=BF，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE==30°，
∴∠DEF=180°﹣∠AED﹣∠BF=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴DE⊥EF．

略