Question

如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE，CD相交于0．
（1）若0B=0C，求證：∠1=∠2；
（2）若∠1=∠2，求證：0B=0C．

Answer 1

分析：（1）要證∠1=∠2，只需證DO=EO．可通過證△BDO≌△CDO（AAS）來實現；
（2）欲證明0B=0C，只需證明OB、OC所在的兩個三角形：△ABO與△ACO全等，利用全等三角形的對應邊相等證得結論．

解答：證明：（1）∵如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠B=∠C（同角的余角相等）．
∴在△BDO與△CDO中，

∠ODB=∠OEC ∠B=∠C OB=OC

，
∴△BDO≌△CDO（AAS），
∴OD=OE，
∴∠1=∠2；

（2）由（1）知，∠B=∠C．
∵在△ABO與△ACO中，

∠B=∠C ∠1=∠2 AO=AO

，
∴△ABO≌△ACO（AAS），
∴OB=OC．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，以及到角兩邊距離相等的點在角平分線上等知識．發現并利用△BDF≌△CDE是正確解答（1）題的關鍵．