Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．

（1）試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明；

（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明．

Answer 1

【答案】（1）四邊形CDAF是平行四邊形，理由詳見解析；

（2）四邊形ADCF是菱形，證明詳見解析．

【解析】

（1）由E是AD的中點，過點A作AF∥BC，易證得△AFE≌△DBE，然后證得AF=BD=CD，即可證得四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）由AB⊥AC，AD是BC邊上的中線，可得AD=CD=BC，然后由四邊形ADCF是平行四邊形，證得四邊形ADCF是菱形．

（1）解：四邊形CDAF是平行四邊形，理由如下：

∵E是AD的中點，

∴AE=ED，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，

在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS），

∴AF=BD，

∵AD是BC邊中線，

∴CD=BD，

∴AF=CD，

∴四邊形CDAF是平行四邊形；

（2）四邊形ADCF是菱形，

∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，

∴AD=BC=DC，

∵四邊形ADCF是平行四邊形，

∴平行四邊形ADCF是菱形．