Question

【題目】如圖，P是線段AB上一點，AB=12cm，C、D兩點分別從P、B出發以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上），運動的時間為t.

（1）當t=1時，PD=2AC，請求出AP的長；

（2）當t=2時，PD=2AC，請求出AP的長；

（3）若C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC，請求出AP的長；

（4）在（3）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的長.

Answer 1

【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm

【解析】試題分析：

(1) 觀察圖形可以看出，圖中的線段PC和線段BD的長分別代表動點C和D的運動路程. 利用“路程等于速度與時間之積”的關系可以得到線段PC和線段BD的長，進而發現BD=2PC. 結合條件PD=2AC，可以得到PB=2AP. 根據上述關系以及線段AB的長，可以求得線段AP的長.

(2) 利用“路程等于速度與時間之積”的關系結合題目中給出的運動時間，可以求得線段PC和線段BD的長，進而發現BD=2PC. 根據BD=2PC和PD=2AC的關系，依照第(1)小題的思路，可以求得線段AP的長.

(3) 利用“路程等于速度與時間之積”的關系可知，只要運動時間一致，點C與點D運動路程的關系與它們運動速度的關系一致. 根據題目中給出的運動速度的關系，可以得到BD=2PC. 這樣，本小題的思路就與前兩個小題的思路一致了. 于是，依照第(1)小題的思路，可以求得線段AP的長.

(4) 由于題目中沒有指明點Q與線段AB的位置關系，所以應該按照點Q在線段AB上以及點Q在線段AB的延長線上兩種情況分別進行求解. 首先，根據題意和相關的條件畫出相應的示意圖. 根據圖中各線段之間的關系并結合條件AQ-BQ=PQ，得到AP和BQ之間的關系，借助前面幾個小題的結論，即可求得線段PQ的長.

試題解析：

(1) 因為點C從P出發以1(cm/s)的速度運動，運動的時間為t=1(s)，所以 (cm).

因為點D從B出發以2(cm/s)的速度運動，運動的時間為t=1(s)，所以 (cm).

故BD=2PC.

因為PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.

故AB=AP+PB=3AP.

因為AB=12cm，所以 (cm).

(2) 因為點C從P出發以1(cm/s)的速度運動，運動的時間為t=2(s)，所以 (cm).

因為點D從B出發以2(cm/s)的速度運動，運動的時間為t=2(s)，所以 (cm).

故BD=2PC.

因為PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.

故AB=AP+PB=3AP.

因為AB=12cm，所以 (cm).

(3) 因為點C從P出發以1(cm/s)的速度運動，運動的時間為t(s)，所以 (cm).

因為點D從B出發以2(cm/s)的速度運動，運動的時間為t(s)，所以 (cm).

故BD=2PC.

因為PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.

故AB=AP+PB=3AP.

因為AB=12cm，所以 (cm).

(4) 本題需要對以下兩種情況分別進行討論.

(1) 點Q在線段AB上(如圖①).

因為AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.

因為AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.

因為，所以.

故.

因為AB=12cm，所以 (cm).

(2) 點Q不在線段AB上，則點Q在線段AB的延長線上(如圖②).

因為AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.

因為AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.

因為，所以.

故.

因為AB=12cm，所以 (cm).

綜上所述，PQ的長為4cm或12cm.