Question

【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線與拋物線交于兩點，其中,.該拋物線與軸交于點,與軸交于另一點.

(1)求的值及該拋物線的解析式;

(2)如圖2.若點為線段上的一動點(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時點的坐標.

(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點,使得以為頂點的三角形與△相似,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當，即時，最大，此時,所以；（3）存在點坐標為或.

【解析】（1）把A與B坐標代入一次函數解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標，代入二次函數解析式求出b與c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積，利用二次函數性質確定出三角形面積最大時P的坐標即可；

（3）存在，分兩種情況，根據相似得比例，求出AQ的長，利用兩點間的距離公式求出Q坐標即可．

（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．

∵y=﹣x2+bx+c經過點A與點B，∴，解得：，則二次函數解析式為y=﹣x2+6x﹣5；

（2）如圖2，△APM與△DPN都為等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN為直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，設AP=m，則有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PMPN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴當m=2，即AP=2時，S△MPN最大，此時OP=3，即P（3，0）；

（3）存在，易得直線CD解析式為y=x﹣5，設Q（x，x﹣5），由題意得：∠BAD=∠ADC=45°，分兩種情況討論：

①當△ABD∽△DAQ時，=，即=，解得：AQ=，由兩點間的距離公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此時Q（，﹣）；

②當△ABD∽△DQA時，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此時Q（2，﹣3）．

綜上，點Q的坐標為（2，﹣3）或（，﹣）．