Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則△ABC的外心和內心之間的距離為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作△ABC的內切圓⊙M，過點M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根據勾股定理求出AB＝10，得到△ABC的外接圓半徑AO＝5，再證明四邊形MECD是正方形，根據內心的性質和切線長定理，求出⊙M的半徑r＝2，則ON＝1，然后在Rt△OMN中，運用勾股定理即可求解．

解：設△ABC的內切圓⊙M，O為△ACB的外接圓的圓心，過點M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10，

∵點O為△ABC的外心，

∴AO為外接圓半徑，AO＝AB＝5，

設⊙M的半徑為r，則MD＝ME＝r，

又∵∠MDC＝∠MEC＝∠C＝90°，

∴四邊形IECD是正方形，

∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，

∵AB＝10，

解得：r＝2，

∴MN＝r＝2，AN＝AE＝6﹣r＝6﹣2＝4，

在Rt△OMN中，∵∠MNO＝90°，ON＝AO﹣AN＝5﹣4＝1，

∴OM＝，

故答案為：．