Question

【題目】在中，垂直平分，分別交、于點、，垂直平分，分別交，于點、．

⑴如圖①，若，求的度數；

⑵如圖②，若，求的度數；

⑶若，直接寫出用表示大小的代數式．

Answer 1

【答案】（1）∠EAN=44°；（2）∠EAN=16°；（3）當0<α＜90°時，∠EAN=180°-2α；當α＞90°時，∠EAN=2α-180°．

【解析】

(1)根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C，再根據∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入數據進行計算即可得解；

(2)同(1)的思路，最后根據∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入數據進行計算即可得解；

(3)根據前兩問的求解，分α＜90°與α＞90°兩種情況解答．

(1)∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°，

∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°；

(2)∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；

(3)當0<α＜90°時，

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α；

當α＞90°時，

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，

∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°．