Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣+bx+c過點A（3，0），B（0，2）．M（m，0）為線段OA上一個動點（點M與點A不重合），過點M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N．

（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；

（2）如果點P是MN的中點，那么求此時點N的坐標；

（3）在對稱軸的左側是否存在點M使四邊形OMPB的面積最大，如果存在求點M的坐標；不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB的解析式為y=﹣x+2，拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；（2）N點坐標為（）；（3）不存在．

【解析】試題分析：（1）用待定系數法分別求出直線AB的解析式和拋物線的解析式即可；（2）根據題意可得N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣ m+2），即可得NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，再由NP=PM，可得方程﹣m2+4m=﹣m+2，解方程即可求得m的值，從而求得點N的坐標；（3）在對稱軸的左側不存在點M使四邊形OMPB的面積最大，根據題意和已知條件求出S梯形OMPB和m的函數關系式，利用二次函數的性質判定即可.

試題解析：

（1）設直線AB的解析式為y=px+q，

把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+2；

把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）∵M（m，0），MN⊥x軸，

∴N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），

∴NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，

而NP=PM，

∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得m1=3（舍去），m2=，

∴N點坐標為（，）；

（3）在對稱軸的左側不存在點M使四邊形OMPB的面積最大，理由如下：

B（0，2），M（m，0），MN⊥x軸，

∴P（m，﹣m+2），

S梯形OMPB=（PM+OB）OM=（﹣m+2+2）m

=﹣m2+2m

=﹣（m﹣3）2+3

∵對稱軸是x=﹣=，M在對稱軸的左側，

∴0＜m＜，

∴m的值無法確定，

在對稱軸的左側不存在點M使四邊形OMPB的面積最大．