Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABD=90°，AD= 5，BD=3，點P從點A出發，沿折線AB- BC以每秒個單位長度的速度向終點C運動(點P不與點A、B、C重合)．在點P運動的過程中，過點P作AB所在直線的垂線．交邊AD或邊CD于點Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM=2．MN與BD在PQ的同側，設點P的運動時間為t(秒)，

(1)當t= 5時，求線段CP的長；

(2)求線段PQ的長(用含t的代數式表示)；

(3)當點M落在BD上時，求t的值；

(4)當矩形PQMN與ABCD重疊部分圓形為五邊形時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）當時，；當時，；（3）2或；（4），

【解析】

（1）如圖1中，利用勾股定理求出AB的長，t＝5時，點P在線段BC上，易知PB＝1，PC＝4；

（2）分兩種情形求解即可①如圖2中，當0＜t＜4時，②如圖3中，當5＜t＜10時；

（3）分兩種情形求解即可①如圖4中，當點P在線段AB上時，點M在線段BD上，求出AP．②如圖5中，當點P在線段BC上，點M與D重合時；

（4）分兩種情形分別求解即可①如圖6中，當點P在線段AB上，重疊部分是五邊形PBKMQ時，2＜t＜4．②如圖7中，當點P在線段BC上，重疊部分是五邊形PQDKN時，4＜t＜6.5；

（1）如圖1中，

在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90，AD＝5，BD＝3，

∴AB＝＝4，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝4，

當t＝5時，點P在BC上，PB＝1，

∴PC＝4．

（2）①如圖2中，當0＜t＜4時，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴PQ＝t．

②如圖3中，當5＜t＜10時，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴PQ＝（9t）．

∴當時，；當時，；

（3）①如圖4中，當點P在線段AB上時，點M在線段BD上，

∵QM∥AB，

∴，

∴，

∴DQ＝，

∴AQ＝DQ，

∵PQ∥BD，

∴AP＝PB＝2，

∴t＝2．

②如圖5中，當點P在線段BC上，點M與D重合時，

∵QM=2，∴CQ=CD- QM=2,

∴Q點是CD中點，

故PQ是△BCD是中位線

故PB＝PC＝BC=，

此時t＝4＋＝．

∴當點M落在BD上時，求t的值為2或；

（4）①如圖6中，重疊部分是五邊形PBKMQ

由圖4可知，當P點為AB中點時，t=2

當P點與B點重合時，t=4

故當點P在線段AB上，重疊部分是五邊形PBKMQ時，2＜t＜4；

②如圖7中，重疊部分是五邊形PQDKN，

由圖5可知，當P點為BC中點時，t=,

當P點與B點重合時，t=4,

當點P在線段BC上，重疊部分是五邊形PQDKN時，4＜t＜6.5．

∴當矩形POMN與ABCD重疊部分圓形為五邊形時， t的取值范圍是2＜t＜4或4＜t＜6.5．