Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過O點作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面積是5，則下列說法錯誤的是（ ）

A.AE=5B.∠BOE=∠BCEC.CE⊥OBD.sin∠BOE=0.6

Answer 1

【答案】C

【解析】

過點O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，構建矩形AGOF，求出OG的長，利用三角形的面積公式可求得AE的長，進而可判斷選項A；通過證明E、B、C、O四點共圓，進而可判斷選項B；由E、B、C、O四點共圓，根據垂徑定理可知，要想OB⊥CE，通過判斷弦長BE和OE的大小即可，進而可判斷選項C；利用同角的三角函數計算，進而可判斷選項D．

A、過O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD，

∴OA＝OD，

∴AF＝FD＝AD＝BC＝2，

∵∠AGO＝∠BAD＝∠AFO＝90°，

∴四邊形AGOF是矩形，

∴OG＝AF＝2，

∵S△AEO＝AEOG＝5，

∴AE＝5，

所以此選項的說法正確；

B、連接CE，∵OE⊥AC，

∴∠EOC＝90°

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC+∠EOC＝180°，

∴E、B、C、O四點共圓，

∴∠BCE＝∠BOE，

所以此選項的說法正確；

C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝，

∴AB＝3+5＝8，

∴AC＝，

∴AO＝AC＝，

∴EO＝，

∴OE≠BE，

∵E、B、C、O四點共圓，

∵∠EOC＝90°，

∴EC是直徑，

∴EC與OB不垂直；

此選項的說法不正確；

D、sin∠BOE＝sin∠BCE＝，

所以此選項的說法正確，

因為本題選擇說法錯誤的，

故選C．