Question

【題目】（1）觀察推理：如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l的同側，，垂足分別為.求證：△AEC≌△CDB.

（2）類比探究：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，將斜邊AB繞點A逆時針旋轉90°至AB，，連接CB，，求△ACB，的面積.

(3)拓展提升:如圖③，在△EBC中，∠E=∠ECB=60°，EC=BC=3，點O在BC上，且OC=2，動點P從點E沿射線EC以每秒1個單位長度的速度運動，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉120°得到線段OF.要使點 F恰好落在射線EB上，求點P運動的時間t.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）EP=3+1=4，t=4s．

【解析】

試題（1）本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．先證明∠DAC=∠ECB，根據AAS證△ADC≌△CEB；

（2）此題主要考查了旋轉的性質以及三角形面積求法和矩形的判定，根據題意得出AC=B′D是解題關鍵．利用旋轉的性質以及矩形的判定得出AC′=B′D=AC=4，進而利用三角形面積公式求出即可；

（3）由已知條件，再通過作圖可知，EP=EC=CP=3+1=4， 可求得點P運動的時間t=4s．

試題解析：（1）證明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）解：根據題意得出旋轉后圖形，AC′⊥AC，過點B′D⊥AC于點D，

∵∠C′AC=∠AC′B′=∠ADB′，

∴四邊形C′ADB′是矩形，

∴AC′=B′D=AC=4，

∴S△AB′C的面積=×AC×B′D=×4×4=8．

故答案為：8．

（3）EP=3+1=4，t=4s．