Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點D在y軸上，直線AC與y軸交于點E（0，1），點C的坐標為（2，3）．
（1）求A、D兩點的坐標；
（2）求經過A、D、C三點的拋物線的函數關系式；
（3）在y軸上是否在點P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）點A的坐標為（﹣1，0）。點D的坐標為（0，3）。
（2）y=x²﹣2x+3。
（3）存在。滿足條件的點P有5個，分別為：P₁（0，2），P₂（0，），P₃（0，），P₄（0，），P₅（0，）。

試題分析：（1）利用待定系數法求出直線EC的解析式，確定點A的坐標；然后利用等腰梯形的性質，確定點D的坐標。
（2）利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（3）滿足條件的點P存在，且有多個，需要分類討論：
①作線段AC的垂直平分線，與y軸的交點，即為所求；
②以點A為圓心，線段AC長為半徑畫弧，與y軸的兩個交點，即為所求；
③以點C為圓心，線段CA長為半徑畫弧，與y軸的兩個交點，即為所求。
解：（1）設直線EC的解析式為y=kx+b，
根據題意得：，解得。
∴y=x+1，
當y=0時，x=﹣1，∴點A的坐標為（﹣1，0）。
∵四邊形ABCD是等腰梯形，C（2，3），∴點D的坐標為（0，3）。
（2）設過A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：
　，解得。
∴拋物線的關系式為：y=x²﹣2x+3。
（3）存在。
①作線段AC的垂直平分線，交y軸于點P₁，交AC于點F，

∵OA=OE，
∴△OAE為等腰直角三角形，∠AEO=45°。
∴∠FEP₁=∠AEO=45°。
∴△FEP₁為等腰直角三角形。
∵A（﹣1，0），C（2，3），點F為AC中點，
∴F（）。
∴等腰直角三角形△FEP₁斜邊上的高為。
∴EP₁=1。∴P₁（0，2）。
②以點A為圓心，線段AC長為半徑畫弧，交y軸于點P₂，P₃．
可求得圓的半徑長AP₂=AC=3，
連接AP₂，則在Rt△AOP₂中，,
∴P₂（0）.
∵點P₃與點P₂關于x軸對稱，∴P₃（0，）.
③以點C為圓心，線段CA長為半徑畫弧，交y軸于點P₄，P₅，
則圓的半徑長CP₄=CA=3，
在Rt△CDP₄中，CP₄=3，CD=2，
∴。
∴OP₄=OD+DP₄=。∴P₄（0，）.
同理，可求得：P₅（0，）。
綜上所述，滿足條件的點P有5個，分別為：P₁（0，2），P₂（0，），P₃（0，），P₄（0，），P₅（0，）。