Question

（2009•江西模擬）如圖，已知：拋物線y₁=x²-2mx+1，y₂=-x²-2mx-1，CE、DF分別是拋物線y₁、y₂的對(duì)稱軸．
（1）請(qǐng)用2種不同的方法，判斷拋物線平行四邊形y₁、y₂中哪條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，哪條經(jīng)過(guò)點(diǎn)B？
（2）求證：CE=DF，并求m的取值范圍；
（3）直線l垂直于x軸，與拋物線y₁、y₂分別交于MN兩點(diǎn)，求線段MN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、B分別處于y軸的正半軸和負(fù)半軸上，若判斷拋物線平行四邊形y₁、y₂中哪條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，哪條經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，可采用兩種方法：①根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向判斷，②根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)判斷．
（2）分別將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，然后求出它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到CE、DF的長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較即可；
在求m的取值范圍時(shí)，以y₁為例，可根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸位置和頂點(diǎn)的位置來(lái)列不等式組，求出m的取值范圍．
（2）線段MN的長(zhǎng)，實(shí)際是兩個(gè)拋物線函數(shù)值的差的絕對(duì)值，可令y₁-y₂，所得表達(dá)式即為MN的長(zhǎng)，根據(jù)MN與x的函數(shù)關(guān)系式，即可求得MN的最小值．
解答：解：（1）方法一：∵y₁=x²-2mx+1，a=1＞0；y₂=-x²-2mx-1，a=-1＜0，
∴y₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，y₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（2分）
方法二：∵y₁=x²-2mx+1，c=1＞0；y₂=-x²-2mx-1，c=-1＜0，
∴y₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，y₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（4分）

（2）∵y₁=x²-2mx+1=（x-m）²+1-m²，y₂=-x²-2mx-1=（x+m）²+m²-1，
CE=|m²-1|，DF=|1-m²|=|m²-1|，
∴CE=DF；（6分）
∵y₁=x²-2mx+1=（x-m）²+1-m²經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴，
解得：0＜m＜1．（7分）

（3）∵y₁-y₂=（x²-2mx+1）-（-x²-2mx-1）=2x²+2，（8分）
∴當(dāng)x=0時(shí)，MN_最小值=2．（9分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用，難度適中．