Question

（2009•江西模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=．
（1）證明：CA平分∠BCD；
（2）若tanB=2，求邊BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AD=DC得到∠DAC=∠ACD，再根據AD∥BC得到∠DAC=∠ACB，所以∠DCA=∠ACB，即CA平分∠BCD；
（2）根據等腰梯形的性質，過上底兩頂點向下底作垂線，垂足分別為F、G，根據tanB=2得到AF=2BF，再利用勾股定理即可求出BF的長，同理求出CG，BC長度即可求出．
解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB（1分）
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA（2分）
∴∠DCA=∠ACB，
即CA平分∠BCD；（3分）

（2）解：如圖，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分別為F，G，
在Rt△AFB中，∵tanB=2，
∴AF=2BF，（4分）
又∵AB=，且AB²=AF²+BF²，
∴5=4BF²+BF²，
解得BF=1，（6分）
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1，（7分）
∴BC=BF+FG+GC=2+．（8分）
點評：（1）利用平行線的性質和等邊對等角的性質得到角相等，根據角平分線的定義即可得證；
（2）主要考查等腰梯形的一種輔助線“過上底兩頂點作梯形的高”，梯形的問題正確作輔助線是解題的關鍵．