Question

（2012•建鄴區一模）已知AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α．

（1）如圖1，α=60°，探究線段CE與AD的數量關系，并加以證明；
（2）如圖2，α=120°，探究線段CE與AD的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，結合上面的活動經驗探究線段CE與AD的數量關系為

CE=2ADsin

α

2

．（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）CE=AD，理由為：連接BC，BE，如圖1所示，當α=60°，由題意得到三角形ABC與三角形DBE都為等邊三角形，可得出AB=BC，DB=BE，∠ABC=∠DBE=60°，利用等式的性質得到一對角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形CBE全等，由全等三角形的對應邊相等可得證；
（2）CE=

3

AD，理由為：連接BE，BC，過A作AF垂直于BC于F點，如圖2所示，由題意得到三角形ABC與三角形DBE都為等腰三角形，且兩三角形相似，可得出兩三角形的底角相等，且得出比例式，由底角相等利用等式的性質得到一對角相等，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出三角形ABD與三角形CBE相似，由相似得出比例式，再由直角三角形ABF中三角形ABC的底角度數求出∠BAF的度數，利用銳角三角形函數定義表示出sin60°，利用特殊角的三角函數值及得出的比例式，變形后即可得證；
（3）由（1）（2）得出的結論，以此類推，即可得到線段CE與AD的數量關系．

解答：
（1）CE=AD，理由為：
證明：連接BC，BE，如圖1所示，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α=60°，
∴△ABC與△BDE都為等邊三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，DB=BE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD與△CBE中，
∵

AB=CB ∠ABD=∠CBE DB=EB

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴CE=AD；
（2）CE=

3

AD，理由為：
連接BC、BE，過點A作AF⊥BC，垂足為點F，如圖2所示，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α=120°，
∴△ABC與△DBE為相似的等腰三角形，即∠ABC=∠DBE=30°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，且

AB

BC

=

BD

BE

，
∴△ABD∽△CBE，
∴

CE

AD

=

BC

AB

，
在Rt△ABF中，由∠ABF=30°，得到∠BAF=60°，
∴

BC

AB

=

2BF

AB

=2sin60°=

3

，
∴

CE

AD

=

3

，即CE=

3

AD；
（3）由α=60°，得到CE=2ADsin

60°

2

=AD；
由α=120°，得到CE=2ADsin

120°

2

=

3

AD，
以此類推，得到CE=2ADsin

α

2

．
故答案為：CE=2ADsin

α

2

．

點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，以及等腰三角形的性質，靈活運用相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．