Question

【題目】如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D為BC上的一點，且PB=PD，DE⊥AC，垂足為點E，求證：PE=BO

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

根據在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點得到BO⊥AC，再根據DE⊥AC得到∠POB＝∠DEP＝90，再由條件PB＝PD可得∠PBD＝∠PDB，再證出∠PBO＝∠DPE，從而證明△POB≌△DEP，進而證得結論PE＝PD．

∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，

∴BO⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴∠POB＝∠DEP＝90，

∵PB＝PD，

∴∠PBD＝∠PDB，

∴∠PBO＋∠OBC＝∠CPD＋∠C

＝∠PBO＋45＝∠CPD＋45＝∠PDB＝∠PBD，

∴∠PBO＋45＝∠CPD＋45，

∴∠PBO＝∠DPE，

∴△POB≌△DEP（AAS），

∴PE＝BO．