Question

【題目】在中，，是平面內不與點重合的任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接是的中點，是的中點．

（1）問題發現：

如圖1，當時，的值是_________，直線與直線相交所成的較小角的度數是________．

（2）類比探究：

如圖2，當時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數，并說明理由．

（3）解決問題：

如圖3，當時，若是的中點，點在直線上，且點在同一條直線上，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，見解析；（3）的值是或

【解析】

（1）如圖1中，連接PC，BD，延長BD交PC于K，交AC于G．證明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性質以及三角形的中位線定理即可解決問題．
（2）如圖2，設MN交AC于F，延長MN交PC于E．證明△ACP∽△AMN，推出∠ACP=∠AMN，可得結論；

（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用三角形中位線定理即可解決問題．

解：（1），

如圖1，連接并延長交于點，交于點，

，

均是等邊三角形，

，

，

在△PAC和△DAB中，

，

，

，

是的中點，是的中點，是的中位線，

，

，

，

，

與相交所成的較小角的度數是，

，

與相交所成的較小角的度數是；

（2），直線與直線相交所成的較小角的度數是，

理由：如圖2，設交于點，延長交于點，連接，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即直線與直線相交所成的較小角的度數是；

（3）或

設，由（2）易知，，

，

是的中位線，，

是線段的中垂線，

，

是的中位線，

，

如圖3-1，當點在線段上時，，

，

如3-2圖，當點在直線上但不在線段上時，

；

綜上，的值是或.