Question

【題目】如圖1，直線y=x+c與x軸交于點A(-3，0)，與y軸交于點C，拋物線y=-x2+bx+c經過點A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2所示，M是線段0A上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N．若以C、P、N為頂點的三角形與△APM相似，求四邊形MNCO的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）6或

【解析】

（1）將A代入y=x+c求出c，從而求出C點坐標，再將A、C點代入y=-x2+bx+c算出解析式即可；

（2）△APM是直角三角形且，根據C、P、N為頂點的三角形與△APM相似分為或進行分類討論求出M、N點的坐標再求算四邊形MNCO的面積即可．

解：（1）∵直線y=x+c與x軸交于點A(-3，0)，將A(-3，0)代入得：c=3

∴直線解析式為：y=x+3

∴C（0,3）

將A(-3，0)，C（0,3）代入y=-x2+bx+c得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3

（2）設

由題可知：是直角三角形且，要使C、P、N為頂點的三角形與△APM相似

①當，如圖：

此時C、N在一條直線上

∴

∴四邊形MNCO的面積=

②時，如圖：

得出： 解得：

∴

∴四邊形MNCO的面積=

綜上所述：若以C、P、N為頂點的三角形與△APM相，四邊形MNCO的面積為6或．