Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的頂點為D，與y軸的交點為C．過點C的直線CA與拋物線交于另一點A(點A在對稱軸左側)，點B在AC的延長線上，連結OA，OB，DA和DB．

(1)如圖1，當AC∥x軸時，

①已知點A的坐標是(﹣2，1)，求拋物線的解析式；

②若四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b2＝4c．

(2)如圖2，若b＝﹣2，＝，是否存在這樣的點A，使四邊形AOBD是平行四邊形？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；②證明見解析；(2)存在這樣的點A，A(﹣，)

【解析】

(1)①由點A(﹣2，1)得到C(0，1)，利用待定系數法即可求解；

②作DE⊥x軸于E，交AB于點F，利用頂點坐標及點C的坐標求得DF＝，利用“AAS”證得△AFD≌△BCO，得到DF＝OC，即可證得結論；

(2)由題意知頂點坐標D(﹣1，c+1)，設點A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”證得△AFD≌△BCO，作如圖的輔助線，證得△ANF∽△AMC，結合已知＝，求得，利用比例線段即可求解．

(1)①∵AC∥x軸，點A(﹣2，1)，

∴C(0，1)，

將點A(﹣2，1)，C(0，1)代入拋物線解析式中，得：

，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+1；

②如圖1，過點D作DE⊥x軸于E，交AB于點F，

∵AC∥x軸，

∴EF＝OC＝c，

∵點D是拋物線的頂點坐標，

∴D(，)，

∴DF＝DE﹣EF＝＝，

∵四邊形AOBD是平行四邊形，

∴AD＝OB，AD∥OB，

∴∠DAF＝∠OBC，

∵∠AFD＝∠BCO＝90°，

∴△AFD≌△BCO(AAS)，

∴DF＝OC，

∴＝c，

即b2＝4c；

(2)如圖2，

∵b＝﹣2．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+c，

∴頂點坐標D(﹣1，c+1)，

假設存在這樣的點A使四邊形AOBD是平行四邊形，

設點A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)，

過點D作DE⊥x軸于點E，交AB于F，

∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，

∵四邊形AOBD是平行四邊形，

∴AD＝BO，AD∥OB，

∴∠DAF＝∠OBC，

∴△AFD≌△BCO(AAS)，

∴AF＝BC，DF＝OC，

過點A作AM⊥y軸于M，交DE于N，

∴DE∥CO，

∴△ANF∽△AMC，

∴＝，

∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，

∴，

∴，

∴點A的縱坐標為﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c＝c﹣＜c，

∵AM∥x軸，

∴點M的坐標為(0，c﹣)，N(﹣1，c﹣)，

∴CM＝c﹣(c﹣)＝，

∵點D的坐標為(﹣1，c+1)，

∴DN＝(c+1)﹣(c﹣)＝，

∵DF＝OC＝c，

∴FN＝DN﹣DF＝﹣c，

∵＝，

∴，

∴c＝，

∴c﹣＝，

∴點A縱坐標為，

∴A(﹣，)，

∴存在這樣的點A，使四邊形AOBD是平行四邊形．