Question

已知：關于x的一元二次方程x²-2x+c=0的一個實數根為3．
（1）求c的值；
（2）二次函數y=x²-2x+c，當-2＜x≤2時，y的取值范圍；
（3）二次函數y=x²-2x+c與x軸交于點A、B（A左B右），頂點為點C，問：是否存在這樣的點P，以P為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍后得到△DEF（即△EDF∽△ABC，相似比為2），使得點D、E恰好在二次函數上且DE∥AB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據方程根的定義，把實數根3代入方程進行計算即可求出c的值；
（2）把二次函數解析式整理成頂點式形式，然后根據二次函數的增減性求出最大值與最小值，即可得解；
（3）解方程求出點A、B的坐標，然后求出AB的長度，再根據相似比求出DE的長度，然后分：①點D在點E的右邊；②點D在點E的左邊兩種情況，根據二次函數的對稱性求出點D的橫坐標，然后代入二次函數解析式求出點D的縱坐標，再求出點E的坐標，利用待定系數法求函數解析式求出直線AE、BD的解析式，再根據對應點的連線必過位似中心，聯立求解即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²-2x+c=0的一個實數根為3，
∴3²-2×3+c=0，
解得c=-3；

（2）二次函數為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
x＜1時，y隨x的增大而減小，
x＞1時，y隨x的增大而增大，
∵-2＜x≤2，
∴當x=-2時，取得最大值為（-2）²-2×（-2）-3=4+4-3=5，
當x=1時，取得最小值為-4，
∴-2＜x≤2時，y的取值范圍是-4≤y＜5；

（3）存在．
由x²-2x-3=0得，x₁=-1，x₂=3，
則點A（-1，0），B（3，0），
則AB=3-（-1）=4，
∵△EDF∽△ABC，相似比為2，
∴DE=2×4=8，
∵二次函數為y=x²-2x-3=（x-1）²-4的對稱軸為直線x=1，
∴點D的橫坐標為5或-3，
①如圖1，點D在點E的右邊時，點D的橫坐標為5，點E的橫坐標為-3，
所以，y=5²-2×5-3=12，
此時，點D（5，12），E（-3，12），
設直線AE的解析式為y=kx+b，直線BD的解析式為y=ex+f，
則

-k+b=0 -3k+b=12

，

3e+f=0 5e+f=12

，
解得

k=-6 b=-6

，

e=6 f=-18

，
所以直線AE的解析式為y=-6x+6，
直線BD的解析式為y=6x-18，
聯立

y=-6x-6 y=6x-18

，
解得

x=1 y=-12

，
所以，點P的坐標為（1，-12），
②如圖2，點D在點E的左邊時，點E的橫坐標為5，點D的橫坐標為-3，
所以，y=5²-2×5-3=12，
此時，點E（5，12），D（-3，12），
設直線AE的解析式為y=kx+b，直線BD的解析式為y=ex+f，
則

-k+b=0 5k+b=12

，

3e+f=0 -3e+f=12

，
解得

k=2 b=2

，

e=-2 f=6

，
所以，直線AE的解析式為y=2x+2，
直線BD的解析式為y=-2x+6，
聯立

y=2x+2 y=-2x+6

，
解得

x=1 y=4

，
所以點P的坐標為（1，4）．
綜上所述，存在位似中心點P（1，-12）或（1，4）．

點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要涉及一元二次方程的解，二次函數的增減性，與x軸的交點問題，位似變換，待定系數法求直線解析式，難度較大，綜合性較強，（3）因為點D、E的左右位置不明確，所以要分兩種情況討論求解．